El estudio del oscilador armónico constituye en
Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos
oscilantes que se dan en la naturaleza y que han sido producidos por el
hombre.
Definición
Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se
mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del
tiempo t por la ecuación
x=A·sen(ωt+φ)
donde
- A es la amplitud.
- w la frecuencia angular.
- w t+j
la fase.
- j la fase inicial.
Las características de un M.A.S. son:
- Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el
movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A
y +A.
- La función seno es periódica y se repite cada 2p,
por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno
se incrementa en 2p, es decir, cuando
transcurre un tiempo P tal que w(t+P)+j=w
t+j+2p .
P=2π/ω
Cinemática de un M.A.S.
En un movimiento
rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad
derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión
de la velocidad.
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo
viene dada por la ecuación
x=A·sen(ωt+φ)
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil
Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración
del móvil
Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial
Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser
cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la
carga de un condensador, una temperatura, etc.
Puede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es
x=A
sen(w t+j
)
Condiciones iniciales
Conociendo la posición inicial x0
y la velocidad inicial v0 en el instante t=0.
x0=A·senj
v0=Aw·cosj
se determinan la amplitud A y la fase inicial
φ
Dinámica de un M.A.S.
Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza
necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza
es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.
Como la fuerza
F es conservativa. El trabajo de dicha fuerza es igual a la
diferencia entre el valor inicial y el final de la energía potencial Ep.
La expresión de la energía potencial es
Donde c es cualquier constante. Se toma como nivel cero de la energía potencial Ep=0
cuando el móvil está en el origen, x=0, por lo que c=0
La energía total E, es la suma de la energía cinética Ek
y de la energía potencial Ep que es constante.
Curva de energía
potencial
La función Ep=mω2x2/2 representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un
mínimo en x=0 cuyo valor es Ep=0.
Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la
condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero Ek>=0.
En otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía
potencial E>=Ep. Si la partícula tiene una energía total
E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre
-A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.
El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la
recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la
partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.
En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de
equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de
carácter estable.
Actividades
Se introduce
-
El valor de mω2, actuando en la
barra de desplazamiento titulada Constante
-
La energía total de la partícula E, actuando en la
barra de desplazamiento titulada Energía.
Se pulsa en el botón titulado Empieza
Observar los valores de la energía cinética, potencial y la
fuerza sobre la partícula, en particular, cuando la partícula pasa por el
origen y por las posiciones de máximo desplazamiento.
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